2021-2022学年第四章测评　函数应用Word版含解析（完整）

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　第四章测评

　(时间:120分钟总分值:150 分)

　一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5分,共 60分)

　1.函数 y=x 2 -3x+2 的零点为() A.(1,0),(2,0)B.1,2 C.1D.2 解析:因为方程 x 2 -3x+2=0 的根为 1,2,所以选 B. 答案:B 2.以下图像中与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是() 答案:B 3.函数 f(x)=4 x -2 x+1 -3,那么函数 f(x)的零点所在的区间为() A.(-1,0)B.(0,1) C.(1,2)D.(2,3) 解析:因为 f(x)=4 x -2 x+1 -3为连续函数,f(1)=4-4-3=-3<0且 f(2)=16-8-3=5>0.因为 f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间为(1,2). 答案:C 4.二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0)中,ac<0,那么函数的零点个数是() A.1B.2 C.0D.无法确定 解析:由二次方程的判别式得到 Δ=b 2 -4ac.又因为 ac<0,所以 Δ>0.此方程有两个不等的实根.应选 B. 答案:B 5.二次函数 f(x)=ax 2 +bx+c(x∈R)的局部对应值及符号如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y + m - -5 -5 - n + 那么可判断方程 ax 2 +bx+c=0 的两个根所在的区间是 () A.(-3,-1)和(-1,1)B.(-1,1)和(1,2) C.(-3,-1)和(2,4)D.(-∞,-3)和(4,+∞)

　解析:结合图表中函数值正负转化的特点可判断. 答案:C 6.国家相继出台多项政策控制房地产行业,现在规定房地产行业收入税如下:年收入在 280 万元及以下的税率为 p%;超过 280万元的局部按(p+2)%征税.现有一家公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,那么该公司的年收入是() A.560 万元 B.420 万元 C.350 万元 D.320 万元 解析:设该公司的年收入为 a万元, 那么 280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%. 解得 a==320. 答案:D 7.假设函数 f(x)=x 2 +ax+b有两个不同的零点 x 1 ,x 2 ,且 1<x 1 <x 2 <3,那么在 f(1),f(3)两个函数值中() A.只有一个小于 1B.至少有一个小于 1 C.都小于 1D.可能都大于 1 解析:当函数图像关于直线 x=2对称时,a=-4,所以 Δ=16-4b>0,b<4.f(1)-1=f(3)-1=b-4<0,故 f(1),f(3)两个函数值都小于 1;当函数图像不关于直线 x=2对称时,f(1),f(3)两个函数值中至少有一个小于 1. 答案:B 8. 导学号 85104096 函数 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d 的图像如下图,那么() A.b∈(-∞,0)B.b∈(0,1) C.b∈(1,2)D.b∈(2,+∞) 解析:由 f(0)=0得 d=0, 因为 f(1)=0,所以 a+b+c=0. ①

　又因为 f(-1)<0,即-a+b-c<0. ②

　① + ② 得 2b<0,所以 b<0.应选 A. 答案:A 9.用二分法研究函数 f(x)=x 3 +3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点 x 0 ∈,第二次应计算.以上横线上应填的内容为()

　A.(0,0.5)

　f(0.25)B.(0,1)

　f(0.25) C.(0.5,1)

　f(0.75)D.(0,0.5)

　f(0.125)

　解析:因为 f(0)<0,f(0.5)>0,所以函数 f(x)的一个零点 x 0 ∈(0,0.5),第二次计算 f=f(0.25). 答案:A 10.函数 f(x)=假设方程 f(x)-a=0 有三个不同的实数根,那么实数 a 的取值范围为() A.(0,1)B.(0,2) C.(0,3)D.(1,3) 解析:函数 f(x)=作出函数 f(x)的图像,如下图. 方程 f(x)-a=0有三个不同的实数根,等价于函数 y=f(x)的图像与 y=a 有三个不同的交点.根据图像可知,当 0<a<1时,函数 y=f(x)的图像与 y=a有三个不同的交点,方程 f(x)-a=0 有三个不同的实数根,那么 a的取值范围是(0,1). 答案:A 11.设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0时是单调函数,那么满足 f(2x)=f 的所有 x 之和为() A.-B.-C.-8D.8 解析: ∵ x>0时,f(x)单调且为偶函数, ∴ |2x|=,即 2x(x+4)= ± (x+1). ∴ 2x 2 +9x+1=0或 2x 2 +7x-1=0. ∴ 共有四根. ∵ x 1 +x 2 =-,x 3 +x 4 =-, ∴ 所有 x之和为-=-8. 答案:C 12.设函数 f(x)=n-1,x∈[n,n+1),n∈N,函数 g(x)=log 2 x,那么方程 f(x)=g(x)的实数根的个数是() A.1B.2C.3D.4 解析:画出 f(x)和 g(x)的图像,如以下图所示,从图中不难看出方程 f(x)=g(x)有 3个零点. 答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5分,共 20分.把答案填在题中横线上)

　13.函数 f(x)=2x-的零点是. 解析:令 f(x)=0,即 2x-=0,2x=,2x 2 =2,所以 x= ± 1. 答案:-1,1 14.假设关于 x 的方程 4 x -k·2 x +k+3=0 只有一个实数解,那么实数 k 的取值范围是.

　解析:设 t=2 x ,t>0,那么关于 x 的方程 4 x -k·2 x +k+3=0 可化为 t 2 -kt+k+3=0. 设 f(t)=t 2 -kt+k+3,由于原方程只有一个实数解,那么换元以后的方程有一个正根, ∴ f(0)<0或 Δ=0,>0, ∴ k<-3或 k=6. 答案:(-∞,-3)∪{6} 15.随着全球气候变暖,人们对环境保护更加关注.某校环保小组调查结果显示:某区垃圾量的年增长率为 p,2021 年产生的垃圾为 a 吨,由此预测,该区 2021 年的垃圾量为吨. 解析:2021 年产生的垃圾为 a吨,年增长率为 p,那么 2021 年垃圾量为 a(1+p)吨,2021年垃圾量为a(1+p) 2 吨. 答案:a(1+p) 2

　16. 导学号 85104097 某方程 ln x-6+2x=0的解为 x 0 ,那么不等式 x≤x 0 的最大整数解是. 解析:令 f(x)=lnx-6+2x,那么 f(1)=ln1-6+2=-4<0, f(2)=ln2-6+4=ln2-2<0, f(3)=ln3>0, ∴ 2<x 0 <3. ∴ 不等式 x≤x 0 的最大整数解为 2. 答案:2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)

　17.(10分)函数 f(x)的图像是连续不断的,x 和 f(x)有如下的对应值表: x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 问函数 f(x)在哪几个区间上一定有零点(区间为表中的最小区间)?为什么? 解:因为函数的图像是连续不断的,并且由对应值表可知 f(-2)·f(-1.5)<0,f(-0.5)·f(0)<0,f(0)·f(0.5)<0,所以在区间(-2,-1.5),(-0.5,0),(0,0.5)上函数 f(x)一定有零点. 18.(12分)求二次函数 y=-x 2 -2x+3 的零点,并分别求当 y>0,y<0时 x 的取值范围. 解:解二次方程-x 2 -2x+3=0,得 x 1 =-3,x 2 =1. 所以函数 y=-x 2 -2x+3的零点为-3,1. y=-x 2 -2x+3=-(x+1) 2 +4,画出这个函数的简图,如下图,可以看出当-3<x<1时,y>0. 当 x<-3或 x>1 时,y<0.

　所以函数 y=-x 2 -2x+3 的零点是-3,1. 当 y>0时,x的取值范围是(-3,1); 当 y<0时,x的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞). 19.(12分) 大海中的两艘船如右图所示,甲船在 A 处,乙船在 A 处正东 50 km的 B 处,现在甲船从 A 处以 20 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从 B 处以 10 km/h 的速度向正西方向航行,那么经过多少小时后,两船相距最近? 解:设 t小时后,甲船到达 M 处,乙船到达 N处,那么 AM=20t,AN=50-NB=50-10t,这时两船相距 y=MN= = =, 故当 t=1时,y取最小值,两船相距最近. 20.(12分)近年来,“共享单车〞的出现为市民“绿色出行〞提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike〞方案在甲、乙两座城市共投资 120 万元,根据行业规定,每个城市至少要投资 40 万元,由前期市场调研可知:甲城市收益 P 与投入 a(单位:万元)满足 P=3-6,乙城市收益 Q与投入 a(单位:万元)满足 Q=a+2,设甲城市的投入为 x(单位:万元),两个城市的总收益为 f(x)(单位:万元). (1)当甲城市投资 50 万元时,求此时公司的总收益; (2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大? 解:(1)当 x=50 时,此时甲城市投资 50万元,乙城市投资 70万元 所以总收益 f(50)=3-6+×70+2=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资 x万元,乙城市投资(120-x)万元, 所以 f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26, 依题意得解得 40≤x≤80. 故 f(x)=-x+3+26(40≤x≤80). 令 t=,那么 t∈[2,4], 所以 y=-t 2 +3t+26=-(t-6) 2 +44. 当 t=6,即 x=72 万元时,y的最大值为 44万元, 所以当甲城市投资 72万元,乙城市投资 48万元时,总收益最大,且最大收益为 44万元. 21.(12分)求函数 f(x)=x 3 +2x 2 -3x-6 的一个正数零点(精确到 0.1).

　解:由于 f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间[1,2]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算,列表如下: 端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 a 0 =1,b 0 =2 f(1)=-6,f(2)=4 [1,2] x 1 ==1.5 f(x 1 )=-2.625<0 [1.5,2] x 2 ==1.75 f(x 2 )≈0.234 4>0 [1.5,1.75] x 3 ==1.625 f(x 3 )≈-1.302 7<0 [1.625,1.75] x 4 ==1.687 5 f(x 4 )≈-0.561 8<0 [1.687 5,1.75] x 5 ==1.718 75 f(x 5 )≈-0.171<0 [1.718 75,1.75] x 6 ==1.734 375 f(x 6 )≈0.03>0 [1.718 75,1.734 375] 至此可以看出,区间[1.71875,1.734375]内的所有值精确到 0.1都为 1.7,所以 1.7 就是所求函数零点精确到 0.1的实数解,即为函数的一个正数零点. 22.(12分)是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x 2 +(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与 x 轴恒有一个交点,且只有一个交点?假设存在,求出范围;假设不存在,请说明理由. 解:假设实数 a 满足条件,那么只需 f(-1)f(3)≤0即可. f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0, 所以 a≤-或 a≥1.检验:(1)当 f(-1)=0时,a=1,所以 f(x)=x 2 +x. 令 f(x)=0,即 x 2 +x=0,解得 x=0,或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠1. (2)当 f(3)=0时,a=-,此时,f(x)=x 2 -x-. 令 f(x)=0,即 x 2 -x-=0, 解得 x=-或 x=3. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠-. 综上所述,a∈∪(1,+∞).

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