凸函数的几个定义及关系
摘要:凸函数是一重要的概念,它在许多学科里有重要的应用,在研究生入学试题中,也时有涉及.本文主要是概述凸函数的几种不同的定义及它们的关系.
关键词:凸函数;严格凸函数;等价
1.凸函数几种不同的定义
定义1.1.1(凸函数)设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点x1,x2和任意实数λ∈(0,1),总有
f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)(1.1)
则称f为I上的凸函数.
如果(1.1)中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数[1].
现代数学多数采用这种定义,除此之外,还有其他形式的定义.
定义1.1.2f(x)在区间I上有定义,f(x)称为I上的凸函数,当且仅当:x1,x2∈I,有
fx1+x22≤f(x1)+f(x2)2(1.2)
如果(1.2)式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数[2].
定义1.1.3f(x)在区间I上有定义,f(x)称为是凸函数,当且仅当x1,x2,……,xn∈I有
fx1+x2+……xnn≤f(x1)+f(x2)+……+f(xn)n(1.3)
如果(1.3)式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数的定义[2].
定义1.1.4f(x)在区间I上有定义,当且仅当曲线y=f(x)的切线恒保持在曲线以下,则称f(x)为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在去线的下方,则称f(x)为严格凸函数[3].
2.几个定义的关系
定理2.1.1定义1.1.2与定义1.1.3等价
证明1.定义1.1.2定义1.1.3
这里采用反向归纳法,其要点是:(1)证明命题对于自然数的某个子序列成立;(2)证明命题当n=k+1成立时,必对n=k也成立.
1由式(1.2)知式(1.3)当n=2时成立,现证n=4时式(1.3)成立
事实上,x1,x2,x3,x4∈I,由式(1.2),我们有
fx1+x2+x3+x44=x1+x22+x3+x422
≤fx1+x22)+f(x3+x422
≤f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)4
此即式(1.3)对n=4成立,一般来说,对任一自然数k,重复上面方法,应用(1.2)式k次,可知
fx1+x2+……+x2k2k≤f(x1)+f(x2)+……+f(x2k)2k
这说明式(1.3)对一切n=2k皆成立.
2[证明式(1.3)对n=k+1成立时,必对n=k也成立]记
A=x1+x2+……+xkk,则x1+x2+……+xk=kA,所以
A=x1+x2+……+xk+Ak+1
由式(1.3)对n=k+1成立,故
f(A)=fx1+x2+……+xk+Ak+1≤f(x1)+f(x2)+……+f(xk)+f(A)k+1
不等式两边同乘以k+1,减去f(A),最后除以k,我们可以得到
fx1+x2+……+xkk≤f(x1)+f(x2)+……+f(xk)k
此式表示(1.3)对n=k成立.
1.定义1.1.3定义1.1.2显然
定理2.1.2若f(x)连续,则定义1.1.1、1.1.2、1.1.3等价
证明1(定义1.1.1定义1.1.2、1.1.3)在定义1中令λ=12,则由式(1.1)得fx1+x22=f[λx1+(1-λ)x2]
≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)
=f(x1)+f(x2)2(x1,x2∈I)
此式表明(1.2)式成立,所以定义1.1.1蕴涵定义1.1.2,而定义1.1.2、1.1.3等价,故定义1.1.1也蕴涵定义1.1.3
2(定义1.1.2、1.1.3定义1.1.1)设x1,x2∈I为任意两点,为了证明式(1.1)对于任意实数λ∈(0,1)成立,我们先来证明:式(1.1)当λ为有理数时则λ=mn∈(0,1),(m f[λx1+(1-λ)x2]=fmnx1+1-mnx2 =fmx1+(n-m)x2n =fx1+x1+…+x1mn+x2+x2+…x2n-mn、 ≤f(x1)+f(x1)+…f(x1)mn+f(x2)+f(x2)+…+f(x2)n-mn =mf(x1)+(n-m)f(x2)n =λf(x1)+(1-λ)f(x2) λ为有理数的情况获证. 若λ∈(0,1)为无理数,则存在有理数λn∈(0,1),(n=1,2,…)使得λn→λ(当n→∞时) 从而由f(x)的连续性 f[λx1+(1-λ)x2]=f{limn→∞[λnx1+(1-λn)x2]} =limn→∞f[λnx1+(1-λn)f(x2)] 对于有理数λn∈(0,1),(n=1,2,…),上面已证明有 f[λnx1+(1-λn)x2]≤λnf(x1)+(1-λn)f(x2) 此式中令n→∞取极限,联系上式,有 f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2) 即式(1.1)对任意无理数也成立λ∈(0,1)也成立. 这就证明了定义1.1.2、1.1.3蕴涵定义1.1.1. 注上述证明里可以看到从定义1.1.1定义1.1.2、1.1.3无需连续性,定义1.1.2、1.1.3定 义1.1.1才需要连续性,可见定义1.1.1强于定义1.1.2、1.1.3. 定理1.2.3若f(x)处处可导,则定义1.1.1,定义1.1.2,定义1.1.3,定义1.1.4等价.(作者单位:西安汽车科技职业学院) 参考文献: [1]华东师范大学数学系编,数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社.2001.148—149. [2]裴礼文编,数学分析中的经典问题与方法[M]].北京:高等教育出版社.2006.269—270. [3]企方勤编,数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社.1986.132—133. [4]程士宏编.高等概率[M]北京:北京大学出版社.1996. [5]赵海清,刘瑞元编.有关凸函数的一个定理改进证明.纯数函数与应用数学[J].2004.386—388. [6]刘三阳,于力,李广民编.数学分析选讲[M].北京:科学出版社.2007.77—89. [7]Tom M.Apostol,Mathematical Analysis,Second Edition,Addison Wesley/Pearson[M],2004. [8]Walter Rudin,Principles of Mathmatical Analysis,Third Edition,机械工业出版社[M],2004.
最新推荐New Ranking
方案是从目的、要求、方式、方法、进度等都部署具体、周密,并有很强可操作性的计划。我们应该重视方...
22023年应聘自我介绍(优秀18篇)(精选文档)范文为教学中作为模范的文章,也常常用来指写作的模板。常常用于文秘写作的参考,也可以作为演讲材料...
3房屋租赁合同电子版免费(汇总19篇)【优秀范文】在人民愈发重视法律的社会中,越来越多事情需要用到合同,它也是实现专业化合作的纽带。那么合同书的...
42023年度上课看课外书检讨书(模板20篇)(精选文档)范文为教学中作为模范的文章,也常常用来指写作的模板。常常用于文秘写作的参考,也可以作为演讲材料...
52023年最新春节晚会结束语十字(11篇)(完整)无论是身处学校还是步入社会,大家都尝试过写作吧,借助写作也可以提高我们的语言组织能力。范文书写...
6护理干事个人总结(实用8篇)工作学习中一定要善始善终,只有总结才标志工作阶段性完成或者彻底的终止。通过总结对工作学习进行回...
7坚持方面名人名言(通用16篇)【优秀范文】人的记忆力会随着岁月的流逝而衰退,写作可以弥补记忆的不足,将曾经的人生经历和感悟记录下来,也便...
8代发工资协议签好后多久发放(优秀8篇)人的记忆力会随着岁月的流逝而衰退,写作可以弥补记忆的不足,将曾经的人生经历和感悟记录下来,也便...
9美术论文鉴赏(大全19篇)【精选推荐】在日常学习、工作或生活中,大家总少不了接触作文或者范文吧,通过文章可以把我们那些零零散散的思想...
10领导辞职报告(汇总20篇)(范文推荐)在经济发展迅速的今天,报告不再是罕见的东西,报告中提到的所有信息应该是准确无误的。报告对于我们...