“理解”与“不解”

产生背景

人类从“计数”开始就和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把相反意义的整数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们合起来叫做整数（现在，自然数的概念有了改变，包括正整数和0）。对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行，也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数，但整数之间的除法并不一定能够在整数范围内无阻碍地进行。于是，人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性，数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题有了系统的研究，关于质数、合数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用。

教学价值

在学生已经掌握了许多自然数的知识之后，系统地教学分数的意义和性质之前，可以使学生进一步丰富自然数的知识，了解自然数之间存在的倍数与因数关系，体会自然数都有因数，而且不同自然数的因数个数是不同的。这些内容还能为以后教学分数知识做必要的准备。更重要的是为后续的有关初等数论的学习打基础。

教学安排

在小学阶段的数学教学中，苏教版课程标准实验教科书《数学》将此内容安排在：四年级（下册）第九单元《倍数和因数》和五年级（下册）第三单元《公倍数和公因数》。四年级下册安排：①了解自然数之间的倍数与因数关系，求一个数的倍数或因数的方法。②2、3、5的倍数的特点，以及偶数、奇数等知识。③素数与合数的概念和判断方法。五下安排：①理解公倍数、最小公倍数的意义，学会找两个数的最小公倍数的方法。②理解公因数和最大公因数的意义，学会找两个数的最大公因数的方法。

理解与不解：

“改变一”：概念定义方式的改变。

在以往的教材中，都是通过除法算式来引出整除的概念，每个除法算式对应着一对有整除关系的数，如b÷a=n表示b能被a整除，b÷n=a表示b能被n整除。在此基础上再引出因数和倍数的概念。而新教材是从把12个小正方形摆成不同的长方形引入，再让学生写出不同的乘法算式，从而揭示倍数和因数的概念。

教材中没有用数学化的语言给“整除”下定义，而是通过学生比较熟悉的摆图形引出三道乘法算式，再通过其中一道乘法算式（如2×6=12）直接给出“倍数”和“因数”的概念。通过这个乘法算式直接给出因数和倍数的概念。这样，学生不必通过12÷2=6得出12能被2整除，进而2是12的因数，12是2的倍数。再通过12÷6=2得出12能被6整除，进而6是12的因数，12是6的倍数，大大简化了叙述和记忆的过程。而是用一个乘法算式2×6=12可以同时说明“2和6都是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数”。实际上，由于乘除法本身就存在着互逆关系，借助整除的模式na=b来引出因数和倍数的概念，与“倍数”“因数”概念的产生背景是本质上的统一而表达形式上的不同。

这种“以形带数——数形结合”的方法，是签于学生在前面学习过程中已经具备了大量的区分整除与有余数除法的知识基础和认知经验，对整除的含义已经有了比较清楚的认识，不出现整除的定义并不会对学生理解其概念产生任何影响，这是符合数学逻辑——数的整除性的。“以形带数——数形结合”的方法更是为了符合学生的认知规律，四年级的学生处于形象思维向抽象思维过渡、转型的阶段，利用图形的拼摆可以使枯燥、抽象的数学概念“形”象化，使学生乐于接受。

但是，由于小学阶段涉及的都是具体的数据而非字母运算，

并在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中明确规定：求一个数的因数、倍数以及求两个数的公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的范围“在1～100的自然数中，能找出10以内某个自然数的所有倍数”“能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数”“在1～100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数”。因此并未感受到采取乘法算式引出因数和倍数的弊端，而如果数较大或者在字母运算中，这一定义并不能提供判断两个数是否存在整除关系的一般性方法。不知这种变式理解整除概念的教学方式是否会给学生的后续学习带来一些不便？

“改变二”：删除了分解质因数的教学内容。

“分解质因数”和“用短除法分解质因数”不再作为正式教学内容。在以往的教材中，“分解质因数”及“用短除法分解质因数”是作为求最大公因数、最小公倍数的基础知识和技能安排的，因此，“分解质因数”一直作为必学内容编排。而在本册教材中，由于允许学生采用多种方法求最大公因数和最小公倍数，“分解质因数”失去了其基础知识的作用，因此不再作为正式教学内容，短除法也只作为一个补充阅读，安排在“你知道吗？”栏目中介绍。

既然学生已经学习了素数（质数）和合数的概念、会根据乘法算式找一个数的因数、掌握了2、3、5的倍数的特征，这些知识的掌握已经为教学分解质因数的知识做好了储备，此处教学内容以后会不会再安排分解质因数的教学内容呢？或者教师个人能否把“你知道吗”栏目中的内容作为补充内容教给学生呢？

如果小学数学中利用分解质因数进行分数的运算，后续学习可将其原理和方法推广到数学中的分式计算，其基本方法也是把分式中的分母先进行因式分解，再取它们的最小公倍式作为公分母，如果公分母取的不是最小公倍式而是其他公倍式，其计算程度的复杂将会大大增加。

分解质因数的技能和原理在中学数学中的其他相关内容中也有着直接或间接的应用。例如，进行求根计算时，最为一般的方法是把根号内的数分解质因数，如==3。再如，整式的因式分解是把一个多项式分解成若干单项式的乘积，并且这些单项式不可再分解，其原理类似于整数的分解质因数。而因式分解又是解多次方程的基础，如要解决一元二次方程x2-x-2=0，一般的方法就是利用因式分解法将其转化成（x+1）（x-2）=0，从这个意义上讲，分解质因数的原理对后续学习的影响非常深远。

（作者单位 江苏省南京市溧水县洪蓝中心小学）

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