一元积分学复习T

下面是小编为大家整理的一元积分学复习T,供大家参考。

　第三章

　一元函数积分学( 不定积分 与定积分) 一. 求下列不定积分: 1. dxxxx 11ln112 cxx 211ln41 2. cxxdxxxx 2211arctan2111arctan11 3.  dxxxxx xcos 1sin 1) cos 1 (1 sin cos2 cxx 2cos 1sin 121 4.  ) 1 (8x xdx

　 cx 811 ln81 5． dxx xx cos sin 1sin 1

　cxx x x        | 12tan | ln21| cos sin 1 | ln2121 二. 求下列不定积分: 1.    2 2 ) 1 (2 2x x xdx cxx x  12 22 2. 2 41 x xdx

　 cxxxx2321 131 3.  2 21 ) 1 2 ( x xdx

　= cxxc t  21arctan sin arctan

　4. 2 22x adx x

　(a > 0)

　 = c x aaxax a 2 222arcsin2 5.  dx x3 2 )1 (

　= c x x x x     ) 2 5 ( 181arcsin832 2 6. dxxx421

　= cxxc u  33 233) 1 (cos31 7. dxx xx112 2

　 cxxx 1 1arccos2 三. 求下列不定积分: 1.  dxe ee ex xx x12 43

　 = cx x  ) 2 arctan 2 (2 ln1

　四. 求下列不定积分: 1. dxxx1005) 2 ( 解. dxxx1005) 2 (

　=962973984995) 2 ( 96 97 98 993 4 5) 2 ( 97 98 994 5) 2 ( 98 995) 2 ( 99        xxxxxxxx

　 cx xx             94 95) 2 ( 95 96 97 98 992 3 4 5) 2 ( 95 96 97 98 992 3 4 5 2. 41 x xdx

　cxx241ln21

　五. 求下列不定积分: 1. xdx x2cos

　 c x x x x     2 cos812 sin41412 2. xdx3sec

　c x x x x xdx    | tan sec | ln21tan sec21sec 3

　3. dxxx23) (ln

　cx xxxxxx     6 ln 6 ) (ln 3 ) (ln2 3 4. dx x) cos(ln

　解.        dx x x x x dx x x x dx x ) cos(ln )] sin(ln ) [cos(ln ) sin(ln ) cos(ln ) cos(ln

　c x xxdx x   )] sin(ln ) [cos(ln2) cos(ln

　5.  dxxxx34sin2cos

　cx xx    2cot412sin812 六. 求下列不定积分: 1.  dxxx x x2 22) 1 () 1 ln(

　= cx xx xxx x   2 12 1ln2 41) 1 ( 2) 1 ln(2222 2. dxxx x21arctan

　 = c x x x x      ) 1 ln( arctan 12 2

　3. dxeexx2arctan

　 c x e e ex x x    ) arctan arctan (212 七. 设  xe x xx xx f) 3 2 (3 ) 1 ln() (22

　00xx, 求  dx x f ) ( .

　 dx x f ) (         c e x xc x x x x xx1 ) 1 4 (3 )] 1 ln( [21) 1 ln(2122 2 2 2

　00xx

　八. 设 x b x a e fxcos sin ) ( "   , (a, b 为不同时为零的常数), 求 f(x).

　  dx x b x a x f )] cos(ln ) sin(ln [ ) (

　= c x a b x b ax    )] cos(ln ) ( ) sin(ln ) [(2 九. 求下列不定积分: 1.  dx x x2 34

　= c x x c t t        232252 5 3) 4 (34) 4 (51cos532cos332 2. ) 0 (2 2a dxxa x

　= cxaa a x    arccos2 2 3. dxee exx x21) 1 (

　 = c e ex x  21 arcsin

　4. dxx axx2

　(a > 0)

　 = c x a xx aaxa   ) 2 (232arcsin 32 十. 求下列不定积分:

　1. dxxxcos 2sin 2

　 = c xx   | cos 2 | ln )2(tan31arctan34 2. dxx xx xcos sincos sin

　= cxx x     | )8 2tan( | ln42) cos (sin21  十一. 求下列不定积分: 1. dx xx x) 3 2 ( 332

　cx x3 ln332 2.    dx x x x ) 1 3 ( ) 5 2 3 (232

　c x x    252) 5 2 3 (51 3. dxxx x 221) 1 ln( c x x    ) 1 ( ln212 2 4.      ) 1 1 ln( ) 1 1 (2 2 2x x xxdx

　c x    | ) 1 1 ln( | ln2 十二. 求下列不定积分: 1. dxxx x) 1 (arctan2

　 cxxxxx aex  2 21 41arctan411tan21 2. dxxx1arcsin

　 c xxxx  1arcsin ) 1 (

　3.  dxxxxx22211 arcsin

　 c x xxxx    22) (arcsin21| | ln1arcsin

　4. dxx xx ) 1 (arctan2 2

　c xxxxx   222) (arctan211ln21 arctan 十三. 求下列不定积分: 1.  dx x x2 34

　c x x      252232) 4 (51) 4 (34 2. xa x2 2

　 cxaa a x c at t a        arccos tan2 2 3. dxee exx x21) 1 (

　 c e ex x   21 arcsin

　4. dxx axx2

　(a > 0)

　 = c x a xx aaxa   ) 2 (232arcsin 32 十四. 求下列不定积分: 1.  x xdxcos 1 sin

　cxxx   |cos 1 2cos 1 2| ln2 21cos 11 2. dxxxcos 2sin 2

　= c xx   | cos 2 | ln )2(tan31arctan34 3. dxx xx xcos sincos sin 解.   dxx xx xdxx xx xcos sin1 cos sin 2 121cos sincos sin

　= cxx x     | )8 2tan( | ln42) cos (sin21  十五. 求下列不定积分: 1. dxx xx 1 c x    23134 2. dxeexx11

　 cee exx x   1arccos ) 1 ln(2 3. dxxx x  1 arctan 1

　c x x x x       2) 1 (arctan | | ln 1 arctan 1 2

　第三章

　一元函数积分学( 定积分) 一．若 f(x)在[a，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数 (x), 均有 0 ) ( ) (  badx x x f , 则 f(x)

　0.

　二. 设 为任意实数, 证明: 20) (tan 11dxxI =4 ) (cot 1120dxx.

　三．已知 f(x)在[0，1]上连续, 对任意 x, y 都有|f(x)－f(y)| < M|x－y|, 证明

　 nMnkfndx x fnk21) (110  四. 设40tanxdx Inn, n 为大于 1 的正整数, 证明: ) 1 ( 21) 1 ( 21  nInn.

　五. 设 f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足 0 <  <  < 1 的任何 , , 有

　    dx x f dx x f ) ( ) (0 证明: 令  xdt t f dt t f x x F ) ( ) ( ) (0 (x

　), 0 ) ( ) (0   dt t f F .     ) ( ) ( ) ( "0x f dt t f x F  00 )] ( ) ( [ dt x f t f , (这是因为 t

　, x

　, 且 f(x)单减). 所以

　0 ) ( ) (     F F , 立即得到   dx x f dx x f ) ( ) (0

　六. 设 f(x)在[a, b]上二阶可导, 且 ) ( " " x f < 0, 证明:

　  2) ( ) (b af a b dx x fba

　七. 设 f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给

　(0, 1), 有

　 10 0) ( ) ( dx x f dx x f  八. 设 f(x)在[a, b]上连续, ) ( " x f 在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证:

　badx x f x f | ) ( " |21| ) ( | ,

　(a < x < b) 九. 设 f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数 ) ( " " x f , 且 0 ) ( 0 ) 1 ( ) 0 (    x f f f ， , 试证:

　4) () ( " "10dxx fx f 十. 设 ] , [ ) ( b a x f 在 上连续, 且 babadx x fa bdx x fa bx f ) ( ln1] ) (1ln[ , 0 ) ( 则 .

　 十一. 设 f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且 f(1)－f(0) = 1, 试证:

　1 )] ( " [102dx x f

　十二. 设函数 f(x)在[0, 2]上连续, 且 20) ( dx x f = 0, 20) ( dx x xf = a > 0. 证明:    [0, 2], 使|f()|

　a. 第三章

　一元函数积分学( 广义积分) 一. 计算下列广义积分: (1) 2031) 1 (dxeexx

　 (2)  02 2) 4 )( 1 (1dxx x

　 (3)   232 )1 ( xdx

　(4) 10) sin(ln dx x

　 (5) 12 211dxx x

　 (6) dxxx0232 )1 (arctan

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