用于不确定性分析的高斯过程响应面模型设计点选择方法

摘 要：为推动高斯过程响应面模型在复杂耗时数值模拟不确定性分析中的应用，提出一种可自动实现位置优化的高效设计点选择方法，即先在标准超立方体上生成拉丁超立方设计点，然后利用输入变量的已知概率分布将其映射回原始设计空间. 将该方法与基于假设均匀分布的传统拉丁超立方设计方法进行比较，探讨它们对所建立的高斯过程响应面模型和不确定性分析结果的影响.算例表明新方法具有一定优势.

关键词：不确定性分析； 蒙特卡罗方法； 高斯过程； 响应面模型

中图分类号：O212.8； O211.9 文献标志码：A

Design point choice of Gaussian process response

surface model applied to uncertainty analysis

LIU Xin’en, XIAO Shifu, MO Jun

(Institute of Systems Engineering, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621900, Sichuan, China)

Abstract： An efficient method of design point choice is presented, which can automatically optimize the location of the points, to advance the application of Gaussian process response surface model to uncertainty analysis of the complex time-consuming numerical simulation. The method produces the design points in a standard Latin hypercube, and then maps them back to the original design space according to the known probability distribution of input variables. The method and the traditional Latin Hypercube Design method based on an assumed uniform distribution are compared and their effect on the established Gaussian process response surface model and uncertainty analysis result is discussed. An example indicates the advantage of the method.

Key words： uncertainty analysis; Monte Carlo method; Gaussian process; response surface model

0 引 言

工程中大多数复杂数值模拟虽然模型本身具有确定性，但某些输入可能存在不确定性（随机性或模糊性），由此产生的输出不确定性量化问题称为不确定性分析（或不确定性传播分析）.目前，最常用的不确定性分析方法是蒙特卡罗方法，其原理简单，普适性强，但对于非常耗时的复杂数值模拟来说，直接大量抽样和模拟不现实，必须先建立可快速计算的代理模型，如回归模型、神经网络模型以及径向基模型等.

近年来，一种基于贝叶斯原理的新型代理模型——高斯过程响应面模型正日益引起重视.它有三大优点：（1）灵活性好，属于非参数/半参数方法，易逼近高度非线性函数；（2）精度高，属于插值型方法，能通过所有已知数据点；（3）能量化自身不确定性，以后验分布形式描述.该模型虽然已在灵敏度分析^［1］、不确定性分析^［2］、参数校准或模型确认^［3-4］方面得到应用，但其在先验期望函数形式选取、粗糙度参数取值等技术细节方面由于处理方式不同而可能导致产生不同结果，这仍时常困扰着使用者.刘信恩等^［5］对上述不同处理方法产生的影响进行理论分析，并结合算例从计算简便性、数值稳定性和结果保守性等角度给出推荐处理方法，初步扫清该方法向实际工程应用推广的障碍.在此基础上，刘信恩等^［6］进一步研究基于高斯过程响应面模型的贝叶斯参数校准或模型确认问题，提出一种更彻底的简化方法，不仅让工程分析人员更易理解和实现，且效果几乎不变，同时，数值更稳定、效率更高，进一步推动该方法走向实际工程应用.

本文简要介绍基于高斯过程响应面模型进行不确定性分析的基本理论，针对设计点选择问题，提出一种基于输入变量已知概率分布的拉丁超立方设计方法，并结合算例对该方法与基于假设均匀分布的传统方法展开比较、研究，探讨其对所建立的高斯过程响应面模型和不确定性分析结果的影响.

1 高斯过程响应面法基本理论

确定性的复杂数值模拟模型可视为隐式函数，即具体表达式未知的确定性函数y= (x).通常，输入x为p维矢量，输出y为标量（或矢量的任意分量）.假设 ( )的先验分布是个平稳高斯过程，即

用于误差估计（后验方差就是给定输入下的均方误差），也常用某高置信水平（如95％）下置信区间形式描述预测值的可能范围.

文献［5］对高斯过程响应面法若干技术细节的不同处理方法进行研究，并给出先验期望函数选用低阶多项式、粗糙度参数使用边缘后验众数法估计、模型有效性必须经过验算点（新数据）检验等处理方法.粗糙度参数ù的边缘后验密度函数为

3 高斯过程响应面模型设计点选择

建立高斯过程响应面模型的前提为获得设计点D={x1,x2,…,xn}处的数据d=［ (x1)， (x2),…, (xn)］T.一般使用“空间填充”的试验设计方法选择设计点(如拉丁超立方设计方法^［7］).该方法将p维输入中的每一维等概率地分割为n个子区间，每个子区间内依概率随机抽取一个样本作为分点（为简单起见，也可直接使用中点或端点，本文采用该处理方式），然后将不同维上的分点不重复地随机组合形成设计点.该方法设计点分布比较均匀，且投影到任何一维都不重复，代表性强，加密后仍为拉丁超立方设计，很受欢迎.图1为一个二维拉丁超立方设计的例子.

(a）随机取点（b）取中点（c）取端点图 1 一个二维拉丁超立方设计的例子，n=5

Fig.1 An example of 2D Latin hypercube design, n=5

但在实践中，通常是先在标准超立方体（x-j∈［0,1］，j=1,2,…,p）中生成拉丁超立方设计点，然后映射回原始设计空间.具体是：标准超立方体中的每个设计点x-i=(x-i1，x-i2，…，x-ip)T（i=1,2,…,n）的第j个分量x-ij通过其第j维边缘分布函数Fj(•)的逆函数映射回原始设计空间，即xij=F－1j(x-ij).这里所用的概率分布可任意假定，一般使用均匀分布.考虑到开展不确定性分析时输入变量的概率分布已知，本文提出一种新方法，直接基于输入变量的已知概率分布从标准超立方体映射回原始设计空间，即Fj(•)使用已知的输入变量边缘分布函数.

为简单起见，本文将基于均匀分布的方法称为均匀取点方法，将基于已知概率分布的方法称为依概率取点方法.均匀取点方法的难点在于如何确定感兴趣的区间，因为不确定性分析常假定输出变量服从正态分布、对数正态分布等无限或半无限区间上的概率分布，基于均匀分布进行映射必须将其截断为有限区间，这是一个两难问题：如果使绝大多数样本点落在不确定性较小的内插区，就必须选择较大的范围，但设计点数量较少又可能使设计点间距过大，内插区不确定性增大，反而使最终的不确定性分析结果精度不高，反之亦然.与均匀取点方法相比，依概率取点方法不需要人为指定感兴趣的区间，且自动在概率密度较大的区域安排较密的设计点以体现其相对重要性，实现设计点位置的某种“优化”，具有一定优势.

4 算例和讨论

4.2 不确定性分析的结果

图3为2种设计点选择方法下输出Y的概率分布函数（通过Kernel-Smoothing方法拟合）.输入X的样本容量N和随机函数 ( )的样本容量M均取10 000，经重复计算表明，在该样本容量下抽样所带来的不确定性已很小，可忽略.由图3可知，在2种设计点选择方法下，输出Y的概率分布函数在95%的置信区间均覆盖其真实值，而且其期望值也与真实值非常接近（该期望值一般作为对概率分布函数的点估计）.相比而言，在均匀取点时概率分布函数的不确定性更大一些，依概率取点时仅在两端低概率区表现出轻微的不确定性.尝试在均匀取点时将感兴趣的区间缩小为3 2段В峁⑾炙竦玫母怕史植己¯数不确定性减小.其中，当取2段保胍栏怕嗜〉闶苯峁畈»多（感兴趣区间取多大合适还与设计点数量、输入维数等有关，不能轻易下结论）.此外，直接根据高斯过程响应面模型后验期望通过蒙特卡罗方法获得的概率分布函数也与真实值吻合很好，因为高斯过程响应面模型后验期望函数m(•)常常为未知函数ç( )的一个好的点估计（见图2）.（a）均匀取点（b）依概率取点

图 3 输出Y的概率分布函数

Fig.3 Probability distribution functions of output variable Y

值得说明的是，Kernel-Smoothing方法拟合出的是光滑的概率分布/密度函数，而本例中函数 ( )在y=2.57处有一个拐点，在该处输出Y的概率密度函数奇异，即其概率分布函数斜率为无穷大，拟合结果在该处有明显误差.

5 结 论

（1）基于高斯过程响应面模型和蒙特卡罗方法展开复杂数值模拟不确定性分析，具有可量化输出期望、方差或概率分布/密度函数等分析结果自身不确定性的独特优势.

（2）针对高斯过程响应面模型设计点选择这个重要问题，提出一种基于输入变量已知概率分布的拉丁超立方设计方法，与基于假设均匀分布的传统方法相比，新方法不仅可以避开人为指定感兴趣区间的难题，而且能自动实现设计点位置优化.在相同数量设计点情况下，不确定性分析结果精度更高，更具优势.

参考文献：

［1］ OAKLEY J E, O’HAGAN A. Probabilistic sensitivity analysis of complex model: a Bayesian approach［J］. J R Stat Soc: Ser B: Stat Methodology, 2004, 66(3): 751-769.

［2］ OAKLEY J E, O’HAGAN A. Bayesian inference for the uncertainty distribution of computer model outputs［J］. Biometrika, 2002, 89(4): 769-784.

［3］ KENNEDY M C, O’HAGAN A. Bayesian calibration of computer model［J］. J R Stat Soc: Ser B: Stat Methodology, 2001, 63(3): 425-464.

［4］ BAYARRI M J, BERGER J O, PAULO R, et al. A framework for validation of computer models［R］. North Carolina: Natl Inst Stat Sci Tech Rep, 2005.

［5］ 刘信恩, 肖世富, 莫军. 高斯过程响应面法研究［J］. 应用力学学报, 2010, 27(1): 190-195.

LIU Xin’en, XIAO Shifu, MO Jun. A new response surface method based on Gaussian process［J］. Chin J Appl Mech, 2010, 27(1): 190-195.

［6］ 刘信恩, 肖世富, 莫军. 复杂数值模拟的贝叶斯模型确认框架及其简化［C］ // 中国力学学会学术大会’2009, CCTAM2009-003789, 郑州, 2009.

［7］ MORRIS M D, MITCHELL T J. Exploratory designs for computational experiments［J］. J Stat Planning & Inference, 1995, 43(3): 381-402.

(编辑 陈锋杰)

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