利用詹森不等式（Jensen）证明不等式问题

摘 要：研究不等式的方法可谓众多，本文利用詹森（Jensen）不等式这个高等数学中比较重要的证明不等式方法着手.首先简明扼要地介绍詹森（Jensen）不等式定义，证明詹森（Jensen）不等式和用詹森（Jensen）不等式定义如何解决不等式证明问题，由于詹森（Jensen）不等式的重要性，文章中将詹森（Jensen）不等式作为基础不等式，推出高等数学中其它几个常见且极其重要的不等式。

关键词：不等式；詹森不等式

不等式是高等数学中非常重要的课题之一，在高等数学中占有极其重要的地位。因此，对不等式作一些必要的研究具有重大的意义，同时，也为我们如何证明不等式问题提供了必要的理论指导。

研究不等式问题，方法众多，本文将着重以高等数学中詹森（Jensen）不等式为理论基础，探讨如何解决不等式问题。

1Jensen不等式

定理1若f为[a，b]上凸函数（凹函数），则对任意[xi∈[a，b]]， [λi>0（i=1，2…，n）]，[i=1n=1]有[fi=1nλixi≤（或≥）i=1nλif（xi）]。

证明：在这里只证明f为凸函数的情况.下面让我们应用数学归纳法来证明。

当n=2时，则由凸函数定义知命题显然成立。

设n=k时命题成立，即对任意[x1，x2…xk∈[a，b]]及[ai>0]，[i=1，2…，k，i=1kai=1]都有

[f（i=1kaixi）≤i=1kaif（xi）]

现设[x1，x2…xk，xk+1∈[a，b]]及[λi>0（i=1，2…，k+1）]，[i=1k+1λi=1]

令[ai=λiλk+1]，[i=1，2…，k]，则[i=1kai=1]，由数学归纳假设可推得

[f（λ1x1+λ2x2+…+λkxk+λk+1xk+1）]

=[f[（1-λk+1）λ1x1+λ2x2+…+λkxk1-λk+1+λk+1xk+1]]

≤[（1-λk+1）fa1x1+a2x2+…+akxk+λk+1f（xk+1）]

≤[（1-λk+1）a1fx1+a2fx2+…+akfxk+λk+1f（xk+1）]

=[（1-λk+1）λ11-λk+1fx1+λ21-λk+1fx2+…+λk1-λk+1fxk+λk+1f（xk+1）]

=[i=1k+1λifxi]

故命题成立。

例1：

1）不等式[abca+b+c3≤aabbcc]，其中a，b，c均为正数。

证明：：设[fx=x1nx，x>0]，由[fx]的一阶和二阶导数：

[f"x=]In[x+1，f""x=1x]

可见[fx=x]Inx，在[x>0]时为严格凸函数，依Jensen不等式有

[fa+b+c3≤13（fa+fb+f（c）]

从而[a+b+c3]In[a+b+c3≤13（a]In[a+b]In[b+c]In[c）]

即[（a+b+c3）a+b+c≤aabbcc]

又∵[abc3≤a+b+c3]

所以[（abc）a+b+c3≤aabbcc]

2）设[xi∈0，π，i=1，2，…，n]，则

[sinx1sinx2…sinxn≤（x1+x2+…+xnn）n]

证明：令[fx=]In[sinx，x∈0，π]则[f"x=ctgx]，[ f"x=-1sin2x<0.]

于是可知[fx]是凹函数，所以有

In[sinx1+]In[sinx2+…+]In[sinxn≤n]In[（sinx1+x2+…+xnn）]

即

[sinx1sinx2…sinxn≤sin（x1+x2+…+xnn）n]

特别地，若A+B+C=[ π]，则有[sinA2sinB2sinC2≤18]。

2利用Jensen不等式证明均值不等式

定理2（均值不等式）：对任意n个实数[ai≥0，i=1，2，3…n]恒有

[n1a1+1a2+…+1an≤a1a2a3…ann≤a1a2…ann]

并且当[a1=a2=...=an]时等号成立。

证明：取函数[fx=Inx，x∈0，+∞]。

因为[f""x=-1x2<0，x∈0，+∞→f（x）]是区间[0，+∞]上严格凹函数。

则对[∀a1，a2，…，an∈0，+∞]及[λi=1ni=1，2，…，n，n∈N+]。

（i）若[a1=a2=…=an]，则上式等号成立。

（ii）若[a1，a2，…，an]不全相等，则由詹森不等式。

[fi=1nλiai≥i=1nλif（ai）] ①

即

In[a1n+a2n+…+ann≥1n][In[a1]+In[a2]+...+In[an][=1n]In[a1a2…an]

[fi=1nλi1ai≥i=1nλif[1ai]] ②

即

In[1na1+1na2+…+1nan=]In[1n[1a1+1a2+…+1an]

[≥1n][In[1a1]+In[1a2]+...+In[1an]][=1n]In[1a1a2…an]

In[1a1+1a2+…1an-]In[n≥-1n]In[a1a2…an]

或

In[n-]In[1a1+1a2+…1an≤1n]In[a1a2…an]

因為[f]在（[0，+∞]）上单调递增.综合①，②结论得

[n1a1+1a2+…1an≤a1a2a3…ann≤a1a2…ann，]

命题成立。

3利用Jensen不等式证明柯西不等式

定理3（柯西不等式）：当[a>0，b>0，p>1，1p+1q=1，]则[ab≤1pap+1qbq]。

证明：令[fx=-]In[x]，则[f""x=1x2>0]，[x∈0，+∞]这样显然[f（x）]为[0，+∞]内的凸函数[1p=λ1]，[1q=λ2]，令[a1=ap>0，a2=bq>0]由于[p>1]显然[q>1]，由Jensen不等式易知

-In[ [1p]In[ap]+[1q]In[bq]，[ab≤1pap+1qbq]。

参考文献：

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993

[2]钱吉林.数学分析解题精粹[M].北京：崇文书局，2003

[3]徐利治.大学数学解题法诠释[M].合肥：安徽教育出版社，2001

[4]洁米诺唯奇.数学分析题解[M].北京：高等教育出版社，1975

[5]刘玉琏、傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1998

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