关于“三大数学危机”的哲学思考

【摘要】在数学的发展过程中有“三大数学危机”，每次数学危机都推动了数学的发展。第一次数学危机极大地推动了数的概念的发展，促进了数系的拓展。第二次数学危机促成了数学分析庞大体系的建立，确立了一种崭新的分析方法。第三次数学危机驱动了现代数理逻辑的发展，形成了一个相对完整的集合论公理体系。这说明，矛盾是数学发展的动力，否定是数学发展的环节，数学发展是曲折性与前进性的统一。

【关键词】数学危机；悖论；哲学思考

危机是一种激化的、非解决不可的矛盾[1] 。在数学的发展过程中，伴随着各种各样的矛盾，比如正数与负数、有理数与无理数、微分与积分、连续与离散，等等。当这些矛盾影响数学的基础时，数学危机便发生了。数学史上共发生过三次数学危机。第一次数学危机是由毕达哥拉斯悖论引起的，第二次数学危机是由贝克莱悖论引起的，第三次数学危机是由罗素悖论引起的。数学危机带给人们的不只是思想上的困惑和混乱，更多的是数学发展的机遇。第一次数学危机推进了几何学的发展，第二次数学危机和第三次数学危机成就了数学分析的创立和发展。哲学是系统化、理论化的世界观和方法论[2]。用哲学的视角来思考“三大数学危机”，可以使我们对数学的发展有更高层次的认识。

一、2 是可公度量吗

1.第一次数学危机的产生

第一次数学危机是由不可公度量（无理数）引起的。毕达哥拉斯派的学者们认为，任何两个线段一定有一个公共度量，即任何两个线段的比都是整数的比。他们认为“万物皆数”，世界上只存在整数与分数。但是，毕达哥拉斯学派的成员希伯索斯发现，等腰直角三角形的直角边与其斜边不存在最大公度线段，即边长为1的正方形的对角线长度不能用有理数表示[3]。这与毕达哥拉斯“万物皆数”的说法是矛盾的，这就是毕达哥拉斯悖论。不可公度量的发现在数学界引起了极大的震动，从而引发了第一次数学危机。

2.第一次數学危机的消除

为了摆脱危机，当时的学者们做出了种种努力。柏拉图基于以数为基础的宇宙模型的破产，提出了以几何为基础建立宇宙模型的设想[4]。欧多克索斯用穷竭法证明了两个圆的面积之比等于其半径的平方之比，给出两个比相等的定义，此定义与所涉及的量是否可公度量完全无关，从而巧妙地解决毕达哥拉斯悖论。当然，直到19世纪下半叶，戴德金、康托尔等人创建实数理论，第一次数学危机才彻底得以解决。

3.第一次数学危机的影响

第一次数学危机对数学发展的影响是巨大的。第一，不可公度量（无理数）的发现表明，几何量不能完全由整数和整数之比（分数）来表示，由此带来了数和量的分离。而正是以几何为基础，推动了公理化系统的形成和发展，进而推动了近代科学的发展。第二，第一次数学危机使希腊人认识到与推理和论证相比，直觉和经验更可靠，这促使数学向不依赖直观的演绎化方向发展。第三，第一次数学危机还促进了数学、天文学等学科的发展，欧几里得的《几何原本》和托勒密的地心说都是在第一次数学危机中产生的。

二、无穷小量是零吗

1.第二次数学危机的产生

第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引发的[5]。在微积分的发展过程中，出现了贝克莱悖论（无穷小悖论），即对无穷小量究竟是零还是非零的回答。贝克莱一针见血地指出了当时微积分基础的逻辑矛盾，引发了第二次数学危机。

2.第二次数学危机的消除

柯西、魏尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。柯西对微积分的基本概念，如函数、极限、导数、微分等都给出了明确的定义。魏尔斯特拉斯采用 ε-N（ε-δ）方法刻画无穷小，把无穷小定义为以0 为极限的变量，从而使极限代替了无穷小。后来，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义，建立了极限理论，就使微积分建立在极限基础之上了。戴德金、康托尔等人创立了实数理论，康托尔又创立了集合论。这样，微积分就建立在极限理论、实数理论和集合论的稳固基础之上，第二次数学危机才得以彻底解决。

3.第二次数学危机的影响

第二次数学危机的影响是深远的。一方面，它带来了方法论的变革。正是在解决第二次数学危机中确立了崭新的分析方法，使分析方法成为与运算方法、逻辑方法具有同等程度的确定性和可靠性的方法。另一方面，它促成了数学分析庞大体系的建立。尽管微积分不牢固的逻辑基础招致了贝克莱等人的攻击，但数学家们还没等可靠的基础建立，就开辟了数学的新领域，微分方程、复变函数、实变函数、微分几何、无穷级数等迅速发展起来，形成了数学分析的庞大体系。

三、理发师给自己理发吗

1.第三次数学危机的产生

19世纪是科学的世纪，数学领域取得了前所未有的发展与成就。康托尔的集合论是具有革命性的理论，是现代数学的基础，也是生产危机的来源。他的证明方法是史无前例的，尽管前期遭到传统思想的排斥，但也得到大数学家庞加莱在1900年国际数学家会议上的支持。集合论作为一种逻辑体系，应该说它在结构上不应该有矛盾。但仅在会议结束的第二年，英国数学家罗素就把关于集合论的一个著名悖论用通俗易懂的故事表述了出来，即理发师悖论（罗素悖论）。罗素悖论的出现在数学界引起一片恐慌，从而引发了第三次数学危机。

2.第三次数学危机的消除

怎样从根本上消除集合论中的各种悖论呢？危机的制造者罗素提出了层次的理论（分支类型化理论）以解决这个矛盾。由于该理论较为复杂，德国数学家策梅洛将其简化并提出了集合论公理系统，经弗兰克尔、冯·诺伊曼等人的补充，形成了一个相对完整的公理集合论体系（ZFC公理集合论系统）。这样，矛盾得到了解决，从而消除了罗素悖论产生的条件。与此同时，以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威尔为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大学派应运而生，数学家们纷纷提出了自己的见解。直到1930年，哥德尔不完全性定理的证明揭示了各派的弱点，这场争论才逐渐平息下去[6]。

3.第三次数学危机的影响

第三次数学危机造就了数学哲学研究的“黄金时代”。第一，它是现代数理逻辑发展的驱动力。数学家们对“数学本身的基础是什么”的探讨，产生了现代数理逻辑的四大分支——公理化集合、证明论、递归论和模型论，为纯粹数学和应用数学提供了思想方法。第二，它是现代数学及其分支学科发展的向导。科学家们在康托尔集合论的基础上创立了模糊集合论，从此新的学科分支——模糊数学诞生。与此同时，基于模型论在“无穷小”的研究应用，非标准分析建立起来了，而轰动一时的突变理论也随之产生。第三，它是整个科学发展的推动力。第三次数学危机的作用和影响远超过数学本身的范围，数学方法和数学关系已成为表达科学规律的不可或缺的力量，对物理学、生物学、计算机科学的发展都产生了不可磨灭的影响。

四、关于“三大数学危机”的哲学思考

哲学是关于自然知识、社会知识和思维知识的概括和总结，它研究世界上一切事物共同的普遍规律。数学是哲学研究对象的范畴，因此，数学的发展符合一切事物共同的普遍规律。1.矛盾是数学发展的动力

唯物辩证法认为，矛盾是事物发展的动力。数学发展过程中有各种各样的矛盾，这些矛盾也成为数学发展的强大动力。第一次数学危机的矛盾是毕达哥拉斯悖论，而随着实数理论的创建，使得矛盾得以彻底解决，大大地推动数的概念的发展，使数系扩展了。第二次数学危机的矛盾是贝克莱悖论，而数学家们为了解决贝克莱悖论所做的种种努力，促成了数学分析庞大体系的建立，并确立了一种崭新的分析方法。第三次数学危机的矛盾是罗素悖论，在极力解决这一矛盾的过程中，数学家们不仅创建了现代数理逻辑的四大分支，还创立了模糊集合论、非标准分析、突变理论。

2.否定是数学发展的环节

辩证否定的实质是扬弃，而不是完全放弃，即新事物对旧事物既批判又继承，既克服其消极因素又保留其积极因素。数学发展的实质是辩证否定的过程。数学知识体系总是在原有的基础上进行扩充，新增的部分与原来的体系并不矛盾，甚至可融为一体。不可公度量的出现使“万物皆数”的观念动摇了，即世界上不仅存在整数和整数之比（分数），还存在无理数。无理数的产生是对先前数的认识的否定，它是在有理数（整数和分数）的基础上对数系的扩展。在牛顿和莱布尼茨创立微积分的过程中，分析方法被程序化和运算化，从而导致人们对分析方法产生误解，并从运算方法的原则去指责分析方法的程序过程[7]。因此，第二次数学危机解决的实质是在微积分中确立了分析方法。肯定这种方法并不意味着放弃运算方法和逻辑方法，事实上，分析方法是运算方法和逻辑方法的综合。罗素悖论撼动了整个数学基础的大厦，使数学家们产生焦虑，正如理发师处于“该给自己理发与不该给自己理发”的否定循环状态。数学史的否定往往是一个祸福相倚的过程，因而才有了ZFC公理集合论系统的创建。否定是数学发展的环节，正是数学一次次的辩证否定，促进了数学的发展。

3.数学发展是前进性与曲折性统一的过程

前进性和曲折性的统一指的是，一方面，从发展方向上看，事物发展的趋势是前进的[8]。数学史的发展也是如此，从有理数到无理数，从欧式几何到非欧几何，等等，这些运动都是向前的，不是循环的，更不是后退的。另一方面，事物的发展又是充满曲折的。这种曲折和反复在数学史的发展上是可见的，三大数学危机就是很好的例证。在公元前5世纪，由于不可公度量的产生而引发了第一次数学危机，直到19世纪下半叶戴德金、康托尔等人创建了实数理论才彻底解决，持续了2000多年。从早期微积分思想的萌芽，到微积分的酝酿，再到牛顿和莱布尼茨创建微积分，到最后柯西、魏爾斯特拉斯等人完善微积分，期间也经历了2000多年。其间，由于微积分基础的不牢固而引发的第二次数学危机，导致了人们的思想混乱。1902年，集合论悖论引发第三次数学危机后，数学家们在一次次消除悖论矛盾的过程中完善证明过程，历时将近30年，这场大论战终于把数学推向了一个新的阶段。历史的规律总是这样的：历史是前进的，但前进中会有曲折，是前进性与曲折性的统一[9]。数学史也符合这个规律，即数学的发展不是直线式的，而是螺旋式上升的。

参考文献：

[1]曹卫民.数学史上的三次危机[J].赤峰学院学报（自然科学版），2014（4）：122123.

[2]本书编写组.马克思主义基本原理概论[M].北京： 高等教育出版社，2015.

[3]刘明祥.数学史上的三次危机[J].湖南教育，1996 （9）：43.

[4]毛建儒.第一次数学危机及其哲学分析[J].中共山西省委党校学报，2005 （1）：7879.

[5]柳成行.数学危机对数学发展的影响及其哲学本质[J].科技信息，2008（30）：211.

[6]戴峰.哲学视域下的第三次数学危机[D].太原：太原科技大学，2010.

[7]周东启.第二次数学危机的实质是方法论的变革[J].自然辩证法研究，2006 （6）：105109.

[8]王纪新.坚持前进性与曲折性相统一的社会主义发展观[J].内蒙古社会科学（汉文版），1992（5）：16.

[9]匡继昌.微积分和无穷小量的哲学思考[J].数学教育学报，2007（2）：13.

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