一致连续性概念的教学探讨与反思

学习与数学思维的培养都是至关重要的。另一方面，就数学知识本身的拓展与深化而言，从逐点连续到一致连续，体现了怎样的数学思想与方法，这对培养学生良好的数学修养与思维都是裨益良多的。

二、借助几何直观，类比教学

数学分析中几个的“一致性”概念都比较抽象，不易理解。“一致连续”是学生遇到的第一个“一致性”概念，因此，利用几何直观引入概念，正本清源，同时注意将逐点连续与一致连续进行类比，让学生顺利跨越这“第一道坎”，对后续课程的学习是至关重要的。

在课堂教学中，我们尊重学生认知事物的基本规律，使学生首先形成一致连续概念的表象，再通过表象抽象出一致连续概念，通过练习加强概念的理解，并由教师介绍一致连续在后续课程中的作用，使学生对该概念的重要性有初步的印象。

本课时的教学由下面四个环节构成：

第一环节：问题提出。

函数的逐点连续性是函数的局部性质，而一致连续性则是一种更强的连续性，刻画的是函数在区间上的整体性质。

问题一：函数在某点处连续（逐点连续）的本质是什么？（ε-δ定义）

一致连续性对于学生而言，高度抽象，难以理解，学生对为什么要引入该概念感到困惑。首先，复习函数逐点连续的概念，温故知新，通过类比，引出更强的连续性——一致连续。

问题二：逐点连续定义中的δ与ε、x都有关，随ε、x的变化而变化，启发学生，若取δ=■{δ（ε，x）}>0，会得到什么样的结论？即是否存在公共的δ？（几何直观，多媒体演示）

通过对逐点连续地分析，总结出其本质——不要求存在公共的δ，使得函数在每一点连续、区间上各点之间的连续性不需要进行比较，这是“自扫门前雪”，也正是逐点连续，还是函数在区间上局部性质的本义。那么，我们要研究区间上函数的整体性质需要什么样的连续性呢？

基于几何直观的教学，有助于学生对抽象概念本质的理解，“看图识字”可以使学生记得牢，学得活。

第二环节：引出定义。

定义：设函数y=f（x）为定义在区间上的函数。若对任意ε>0，存在δ=δ（ε）>0，使得对任何x■，x■∈I，只要x■-x■<δ，就有f（x■）-f（x■）<ε.

PPT演示（几何直观）“不一定连续”：

如果函数剧烈震荡，非常“陡”，或者函数曲线几乎垂直于x轴时，将导致δ=■{δ（ε，x）}=0，此时函数不一致连续。

定义：（不一致连续）设函数y=f（x）为定义在区间上的函数，若存在ε■>0，对任意δ>0，存在x■，x■∈I，虽然x■-x■<δ，但f（x■）-f（x■）≥ε■.

第三环节：定义运用。

例1.证明函数y=■在[0，+∞）上是一致连续的。

本例借助几何直观，寻求■{δ（ε，x）}，有助于学生掌握公共的δ的取法。

例2.证明函数y=■在（0，1）上不一致连续（尽管其在（0，1）上逐点连续）。

第四环节：课堂小结。

教师总结：本节课学习了一致连续的概念，通过与逐点连续的类比，我们得到：（1）一致连续必连续，反之不成立（见例2）；（2）一致连续是函数在区间上的整体性质，而逐点连续是局部性质。

在今后的学习中我们将看到一致连续所发挥的重要作用，如在函数的可积理论、积分（弧长公式）、函数序列以及含参变量积分等一系列问题的证明过程中，一致连续都起到了重要作用，没有这个概念，这些结论都无法得到。

三、教学反思

荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为学习数学的目的不是一成不变的，在不同的社会背景下，所需达到的目的也不同，他总结了五点：①掌握数学的整个体系；②学会数学的实际应用；③数学作为思维的训练；④数学作为筛选的工具；⑤培养解决问题的能力。由于授课对象为师范生，我们将课程定位在思维训练与培养解决问题的能力上，因此，在进行教学设计时，我们更注重思维发生的过程，重视一致连续性概念的形成过程，结合几何直观，激发学生的学习兴趣，使得抽象问题形象化，让学生充分体现数学的应用价值与思维价值。

（一）教学方法反思

本次课主要采用问题驱动结合讲授法进行教学，以恰当的问题为纽带，结合几何直观，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成一致连续性概念，引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维。

从课堂反馈来看，学生在问题链的引导下，能够主动思考并回答问题，一致连续的概念在解决问题的过程中被发现、被吸收、被应用。此外，师生、生生共同解决问题的过程也是师生情感交流、融洽课堂气氛的过程。不过，更为理想的状态是能让学生自己发现并提出问题，而不是由教师“包办”其思维与推理，使得学生囿于设定好的问题与情境之中。另一方面，要引导学生提出触及概念本质的问题，避免天马行空不着边际的发散思维，从而降低课堂的有效性，这是采用问题驱动教学法尤其需要引起注意的地方，也促使我在今后的教学中不断反思与改进。

（二）教学过程反思

整个教学过程体现了教为主导，学为主体。课堂围绕教学重点展开，教学目标得到了实现，难点得到了化解。另一方面，通过学生的学习活动与教师的教学活动，总结了今后值得注意与改进的地方，具体分析如下。

1.教学目标。本课的教学目标是使学生理解一致连续与逐点连续的区别与联系；掌握利用定义验证函数的一致连续性；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。从课堂实施情况看，借助几何直观，提出问题之后，学生能通过与逐点连续定义的类比归纳出一致连续性的本质，进而抽象出其ε-δ定义，并运用定义证明函数的一致连续性。总之，本课的教学目标得到了实现。

2.教学重难点。本课的重点是一致连续性概念，难点是一致连续与逐点连续的区别与联系。利用定义验证函数在区间上的一致连续性，从课堂实施情况看，教学过程紧紧围绕教学重点展开，从问题提出→引出定义→定义应用→课堂小结，环环相扣，凸显重点，化解难点，学生对一致连续这一抽象概念有了较好的理解。数学分析中几个“一致性”概念都是比较抽象的、不易理解的，“一致连续”是学生遇到的第一个“一致性”概念，因此在本次课中，学生顺利跨越了这“第一道坎”，这为后续课程的学习打下了良好的基础。

3.学生的学习活动。思维活跃，积极思考教师提出的问题，充分调动自己的原有知识解决问题，主动参与讨论、交流。不过，在运用定义证明函数的一致连续性时，部分学生对δ的选取无从下手，尽管知道利用反推的方法进行δ的选取，但在不等式放缩时遇到了问题，无法顺利使用一些常用的技巧，这与学生原有的基础有关，也与课后练习不够有关。

4.教师的教学活动。精心设计问题，引导学生思考、讨论，对学生的回答给予了肯定与鼓励，注重保护学生的积极性。教学基本是在教师的问题引导下，以学生的主动探究为主，一步一步接近概念，教师对课堂的调控有自己的考虑，做到了有计划、有目的的进行教学。但整个教学过程中，学生循着教师的思路考虑问题，没有自己提出问题，课堂活动止于教师问、学生答，在今后的教学中应当注意培养学生发现问题的能力，给学生创造提出问题的机会和时间，培养其创新能力。

日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。”这与Freudenthal的教育理念相契合，是我们进行教学设计与实施教学的基本理念，希望学生能从课堂中切身感受到“冰冷的”定义定理之下藏着的“火热的”思考，将数学作为思维的训练工具，培养其发现问题、分析问题、解决问题的能力。另一方面，由于授课对象为师范方向的学生，他们当中的大部分日后将会走上讲台，传道、授业、解惑，因此掌握数学知识的本质与背景、深刻理解其思想与方法就显得更为重要了。

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