当前关于强调数学证明的思考与教学实践

[摘 要]本文从数学证明在数学发展和人才培养的意义出发，从当前数学证明在教学中的地位着手，对数学证明的教学进行了探索与实践，取得了一些成果。

[关键词]数学证明；人才培养；数学教学

[中图分类号] G642.3 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）05-0025-03

恩格斯将数学定义为：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。即使从现在的观点看，这个定义仍有一定的合理性。从这个概念出发，可知数学的应用非常广泛，是学习现代科学技术必不可少的基础。不管作为理科学生还是工科学生，要想深刻理解、掌握本学科知识，就必须学好数学。数学证明，就是在数学逻辑的基础上，根据相应的公理、定理、法则等验证与之有关的数学结论正确与否的思维活动。数学证明在数学发展中所起的作用决定了学习数学离不开数学证明。

一、数学证明在数学发展中的作用

数学命题常常是通过观察、实验或特例等得到的，但是，这些直观而并不严谨的数学方法，也不能判断命题的正确性。数学证明就是在特定的题设条件下，通过引用一些真命题，经过严格的逻辑推理方法进行的，具有无可辩驳的说服力，可以核实一个命题的真假。在数学史上，有些数学结论的发现本身就是从数学证明开始的。例如拓扑学和图论是欧拉通过解决“哥尼斯堡七桥问题”的研究时提出的。非欧几何是数学家通过企图证明欧氏几何第五公设问题时发现的。又如通过对群、环、模等同态基本定理的证明，发展了应用非常广泛的数学基础理论——范畴理论。因而，我们可以判定，通过数学证明能发现新的数学结论。我们知道证明一个数学命题需要灵活的运用相应的数学知识、数学定理或者公理，通过数学证明，在验证数学命题正确性的同时，可以加深对证明过程中所涉及的数学知识的理解，以及与要证明的命题之间的联系，使所学知识系统化，故数学证明有助于增进理解包括增进对所证命题的理解以及在证明该命题过程中所用到的相关的数学知识的理解。

二、数学证明在人才培养中的意义

数学证明是一种演绎证明，在证明过程中每一步都力求有理有据，表达准确，因而数学证明可以训练和培养学生严谨的逻辑思维能力，而严谨的思维方式对学生和科技工作者至关重要。当年钱学森院士检查中国科学技术大学力学系三年级学生的学习情况后认为学生的数学基础不太好，决定在学生大四时再增加一年高等数学的学习。我们知道中国科学技术大学历来非常重视数学教学，对数学证明和数学概念的教学要求相当高，例如作为微积分理论基础的实数理论在中国科学技术大学是数学教学的重点（在一般院校，这部分内容并不作为必要的教学内容，甚至在教材编写中不出现相关知识点）。据中国科学技术大学统计，到2011年为止，中国科学技术大学为我国贡献了52名院士，平均每年的毕业生中都有一位院士。又如中国科学技术大学少年班的学生不管以后学什么专业，他们均学习数学分析，高等代数。我们知道数学分析，高等代数与高等数学，线性代数的不同之处是重视概念的分析，定理的证明，2014年中国科学技术大学对历年少年班毕业生做了简单统计发现，超过10%的毕业生在国内外著名大学任教授职位，从质量培养的角度上可以说中国科学技术大学的人才培养是成功的。从网上搜到的材料看，在人才培养上，如果说中国科学技术大学与大部分高校有区别的话，那就是数学教学上严谨一些，深入一些。从而可知，中国科学技术大学人才培养的成功与数学教学有很大的关系。

三、数学证明在数学教学中的尴尬地位

我们知道数学教学包括数学知识、数学技术、数学思维方式等的教学。这些既是学生进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能，又是培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题能力的课程。随着科学技术的发展，知識的更新，在教学过程中，不同时代的教学侧重点应有所不同，数学也不例外。我们都知道，随着计算机的发展和普及，计算软件得到充分发展，这样许多在人工计算的情况下非常复杂或需要高度技巧的数学计算，现在用计算软件很容易解决，而且一般不会出现错误。因而笔者认为当前数学教学中，数学计算的教学是数学教学的重点，但不应再是数学教学的核心，核心应该转化为数学思维方式的教学，而数学证明与数学概念恰是思维方式的最好体现。 然而当前我国数学教学从中学到大学都不太被重视，甚至在教学中直接忽略了数学概念和数学证明。2014年8月26日在中国科学技术大学举办的“中学教师回大学”的活动上，杨乐院士对于中学数学教育谈了几点自己的看法后，许多来自全国各地的中学数学教师纷纷向杨老发出“救救数学”的呼声。对这些一线教育工作者来说，如今最担忧的不是学生讨厌数学，怕数学，而是“不接地气”的课改，中学数学教学正陷入一场“重技巧轻基础”，“老师难教，学生怕学”的困局。当前的中学数学教育，删去或淡化了不少在教师们看来本不该淡化和删减的东西。我们知道，关于数学证明的正式教学开始于初中阶段的平面几何的教学，不管是数学工作者还是数学水平较高的科技工作者对平面几何中的证明，对数学思维的影响都有深刻体会。笔者最近找出初中数学课本看看，初中所教授的平面几何，很大程度上是“比比划划，做点实验”，很难突出平面几何的本质。我们知道平面几何是逻辑性非常强的学科，这导致不少大学生需要“补课”。 杨老自己也遇到一些数学专业的大学生和研究生甚至不清楚什么是“定理已经证明完了”，这就和他们没有经过严格的平面几何训练有关。平面几何不仅对直观的想象能力，对问题的分析能力有帮助，在训练学生严谨的推理能力上的作用，恐怕是其他课程难以取代的。

高等数学是重要的大学基础课程，在教学过程中除了教给学生后继课程和工作以后所需要的数学知识外，更重要的是培养学生的分析问题能力，推理能力以及创新意识和能力，引导学生用所学的数学知识和方法去观察、分析、解决问题。数学证明的教学和训练最能体现培养学生的分析问题能力，推理能力以及创新意识和能力，因而应该加强这方面的教学，特别是在计算技术已经得到充分发展的今天。从教师的角度上，数学证明的教学并不像数学概念和数学计算的教学那么容易，而是数学教学的难点。随着高校的扩招，学生的科学素质相应有所下降，而学生就业时在校成绩是找工作，展示能力的重要证据之一，因而很多学校都尽可能地降低补考率。由于数学证明题是大多数学生拿不到分数的题目，为了提高学生成绩和通过率，许多高校的数学考试都不考或少考证明题，导致许多教师在课堂也尽量不讲定理证明和数学证明的例题。从学生的角度看，数学证明是数学学习的难点，自然学生学起来不容易，学生不知道怎样想，找不到证明的思路，有时，即使有证明思路，也不知道如何组织证明。从教材建设的角度上看，现在许多教师认为，应该把现行教材中一些过于繁琐的推理和论述删掉，尽量压缩一些对非数学专业学生“不需要深刻理解”的概念和证明，仅仅用语言简单陈述一下就可以了，因而近几年的教材编写也尽量淡化数学概念和数学证明。

四、数学证明的教学实践及教学经验

为了提高学生的学习兴趣，又可以达到强调数学证明的目的，这里以一个实例的形式，阐述我们的做法。

简单讲一下数学结论的来源。我们知道数学教学的主要目的是，培养学生在科研和生活中遇到的现实问题，需要某方面的数学知识来解决时，能够利用所学的数学知识去解决相应问题。我们知道许多数学命题就来源于现实，例如牛顿-莱布尼茨定理，牛顿的想法来源于路程与速度的关系的现实问题。设物体的距离和速度随时间的变化的关系式分别为s（t），v（t），我们知道物体的速度是距离函数的导数，即s"（t）=v（t），而物体在时间段[a，b]之间的距离为s（b）-s（a）= v（t）dt。而莱布尼茨的想法来源于面积求法的现实问题，由区间[a，b]上的函数f（t）构成曲边梯形下的面积S（b）-S（a）= f（t）dt，而面积函数S（x）的导数是函数f（x），即S"（x）=f（x）。这样的问题在数学定理的证明中是比较普遍的，因而在证明定理时，讲清背景，不论对学生思路的启发，还是理清证明思路都是有好处的，更主要的是，要让学生在生活中不忽略任何细节。

再谈谈数学证明的思路及证明过程。由上面的分析知道，物体在时间段[a，x]之间的距离为S（x）-S（a）=

v（t）dt，是速度函数的v（t）的变上限函数。同样以函数f（t）为顶构成的曲边梯形位于区间[a，x]的面积S（x）也是函数f（t）的变上限函数，由此可知牛顿-莱布尼茨定理的证明中引入函数f（t）的变上限函数Φ（x）= f（t）dt是比较自然的了。然后讨论变上限函数Φ（x）的连续性，可导性，最后完成定理证明。

五、结论

通过对数学证明的教学探索和实践，从下面几个方面看，取得了相当不错的教学效果。

从学生的课堂反应看，通过对我校电气、机械、土木、数学专业的1000多名学生的问卷调查可看出，许多学生都認为这样教学，使数学的内容容易接受，没那么抽象，数学的证明不再是难以理解的。学生的上课积极性比前几届有很大提高，课堂上学生的反应较前几届学生活跃。

从学生的考试成绩和竞赛成绩看，通过近两年的四次期末考试可知，学生的考试成绩好于前几届，补考的学生明显减少。近几年参加各种竞赛获得的成绩也比较好：在全国大学生数学竞赛（专业组）中，到2015年为止共获得了二等奖两项，三等奖八项。由于我校历年来招生数量较少，每届仅一个或两个教学班，而且和中国科学技术大学、合肥工业大学等名校的学生在同一组比赛，能获奖确实是件不容易的事。从安徽省数学会网页上可以看出，在安徽省高校中，除了中国科学技术大学和合肥工业大学外，其他获奖的高校很少，因而从一定程度上讲，这样的教学效果还是比较明显的。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 波斯特著，贺俊杰，铁红玲译.数学证明之美 [M].长沙：湖南科技出版社，2012.

[2] 萧文强.数学证明[M].大连：大连理工大学出版社，2008.

[3] D. J.Velleman，How to Prove It： A Structured Approach[M].北京：人民邮电出版社，2009.

[4] 王申怀.数学证明的教育价值[J].课程·教材·教法，2000（5）.

[5] 安徽数学会网页http：//math.ustc.edu.cn/ahmath/academician.htm.

[责任编辑：钟 岚]

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