浅谈拓扑思想在数学学习中的作用

摘 要：拓扑思想和方法已经渗透到现代数学研究的很多领域，为了使我们学生能够在拓扑思想的启发下探索数学本质，优化学习数学方法，提升学习数学过程中分析以及解决问题的能力，本文以拓扑思想在数学学习中的作用为研究对象，首先分析了拓扑思想的概念，然后分析了拓扑思想与数学，进一步探讨拓扑思想在数学学习中的作用。

关键词：拓扑思想 数学学习 概念 作用

一、拓扑思想的概念

拓扑思想来源于德国，“拓扑”音译于德文topologie，在十八世纪四十年代，由德国著名数学家李斯亭发明，后由美国著名数学家莱夫谢茨翻译成英语topology，通过拓扑思想表达了关于“几何位置”的新研究课题。分析其本质，拓扑思想来源于数学中的几何学科，几何拓扑学早在19世纪就形成了一种隶属于几何学的新学科分支，更早在18世纪关于这一新分支的一些内容和问题就已经出现，这些内容和问题在后来的拓扑学中占据了关键的位置。拓扑思想，根本的内涵在于几何图形在连续变形的情况下性质不发生改变，连续变形就是指准许几何图形发生扭曲或者伸缩等现象，但是不允许发生断裂或者粘结，而性质不发生改变。[1]

二、拓扑思想与数学

从拓扑思想缘起开始直至今天，拓扑思想已经渗透到了数学学习与研究的诸多方面，就拓扑思想的研究内涵来谈，可以用“研究对象在连续变换下的不变特征”来概括，当拓扑思想与数学交织，就会产生诸多分支，这些分支之间不一定存在紧密关联，但是数学研究的内涵体现为三要素，一是抽象、二是推理、三是模型，其着重于研究物质之间的关系。[2]

因此，可以看出基于拓扑思想的数学学习，关键在于探究物质之间的一些不变特征。通俗来说，就是探索数学中几何图形不变化的原有特征，即几何图形原有的一些性能经过连续变形仍然不改变。举例来谈，假设有一个用橡皮泥做成的小球，球内有一个洞，通过外力导致小球发生连续变形，变形为立方体，经过连续变形，球内的那个洞在尺寸、形态和位置方面均发生了变化，但是这个洞仍在存在着，可以将这个洞理解为橡皮泥做成的小球原始性质，它经过连续变形仍在存在，这就是理论上的拓扑不变性，在拓扑思想理论视角下的数学研究，其三角形、四边形以及圆价值相等，都是几何图形，但是它们均与线段不同。

三、拓扑思想在数学学习中的作用

1.拓扑思想在数论学习中的作用

点集拓扑思想，作为拓扑思想的一个分支，早在19 世纪就已经引入世界，其根本内涵在于采用集合的方法探索拓扑不变性。点集拓扑思想是学习现代数学分析的基础，它是数学分析、实变函数、复变函数以及泛函分析等科目的提升，其中，最基础的概念包含开集以及闭集，是基于直线上开区间和闭区间概念的延伸。素数的无限性，在两千年前经欧几里得提出，在之后的年代里，关于素数无限性的若干证明，由哥德巴赫和欧拉提出，发展直至十九世纪中期，H. Furstenberg引入了通过点集拓扑思想相关原理证明素数的无限性的思路，这一方法可以看作是拓撲思想视角下，开集和闭集理论在数学研究学习中的里程碑式运用，为后期的学者学习研究数论带来了极大的启发。比如学者在研究三角形、方形、圆形时，虽然他们的形状不同，基于拓扑思想，学者可以将他们理解为三个集合，并建立逐一对应的f ，其中f 与1/f均为连续，可以将上述三个图形理解为同胚图形。

2.拓扑思想在几何学习中的作用

（1）对空间维数方面的启发

在数学学习研究过程中，经常涉及到空间维数，包括一维空间、二维空间以及三维空间等，现代维数理论，是拓扑思想下的一大关键分支，可以将它理解为经典维数理论的延伸。现代维数理论在19世纪被引出，创始人是数学家波尔查诺以及康托。康托灵活的把一条直线上的若干个点和整个平面的若干个点逐一对应，进一步经过延伸推广，将一条直线上的若干个点与n 维空间中的点逐一对应，这些点逐一对应后将具体的几何对象做扭曲或者伸缩，经过这些连续变化，几何对象的维数保持原样。对于学者学习过程的启发在于，可以将维数推广直至连续取值而不仅仅限制于整数，这是数学学习研究进程中的一大革新，为后期关于空间维数的研究与探索带来了极大的可能性。

（2）基于纽结理论的启发

纽结理论，作为代数拓扑学中的一大分支，区别于生活中的纽结，理论中将该纽结默认为封闭状态而不存在活动端，具体来说，数学中的纽结是指三维空间中，与自身不存在焦点的封闭形曲线，而两个纽结价值相等则是在三维情况下，一个纽结通过连续变形可以有效的变化成另一个纽结。纽结理论视角下研究的对象只能局限于三维情况下的曲线。而数学家们学习研究纽结理论的最终目的则是确定纽结不变量，这也是拓扑思想的关键内涵。

纽结理论，较为直观易理解，且具备较强的可操作性和一定的趣味性，相关学者在学习数学过程中可以利用实际的绳索辅助试验，利用实在的物体和客观的图形转变为虚拟的、精准的数学语言，进一步探究数学语言的内在规律与特点，有效的区分并定义不同的数学纽结形式。在学习数学的过程中运用纽结理论可以加强学者的空间想象力，为进一步研究几何做好准备。

结语

在数学学习和研究过程中，“不懂拓扑思想就不懂现代数学”这种观点以及逐渐被学者认同，实事求是的来看，拓扑思想一方面有着丰富的内容。另一方面，趣味性十足，因此，在数学学习和研究过程中，适当的运用拓扑思想作为启发与引导，可以有效的开拓学者眼界，优化他们学习数学方法，提升他们在学习数学过程中分析以及解决问题的能力，不断增添他们学习数学的主观兴趣，为数学研究事业添砖加瓦。可见，学者在数学学习和研究过程中，具备一定的拓扑思想知识是必要的。

参考文献

[1]韩刚，安艳.初等数学中的一些拓扑思想[J].高师理科学刊，2017（10）：7-8.

[2]潘干.拓扑学的思想方法在中学数学解题中的应用[J].数学教育研究，2015（05）：214-215.

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