浅析“反例教学”在高等数学教学中的应用

摘 要 从目前来看，数学教学中能力的培养依然集中在解题能力上。如果在高等数学的教学中，能充分利用反例，在讲述概念及定理应用以及解答一些数学问题时，就可以收到事半功倍的效果。适当的反例不仅有利于加深学生对数学中诸多概念和定理的理解，而且也有利于优化学生的思维结构，培养学生的创新能力。本文就对反例在高等数学中的应用做了深入的论述和分析。

关键词 反例教学 高等数学 创新

中图分类号：G424 文献标识码：A

1 反例教学的内涵

数学是由两个大类构成的，证明和反例。证明是我们在教学中经常使用的方法，而我们所说的反例指的是，在具体的数学教学过程中，为了加深学生的记忆，将比较难以理解的问题简单化，教师针对这些学生较容易出现学习困难或理解错误的知识点上有意设计答案，用表面上看起来似乎是正确的，但其实是完全错误的答案来设置“陷阱”，待学生按照预期跳入陷阱后，教师再根据学生所犯的错误给出正确的解答，引导学生得出的正确的答案，这就是反例的教学方法。反例教学法实际的教学中是十分重要的。学生在这一反向思维的过程中，不但能够准确地掌握所要学习的数学知识，又能锻炼自己的逻辑思维能力。本文就从高等数学的知识入手，具体探讨反例教学在高等教学中的运用。

现代信息技术的不断发展以及各种现代化的手段工具在学校教学中的广泛运用，既给学校教育带来了难得的机遇，也使学校教育面临着比之前更多的挑战。同时，随着我国课程改革的不断深入，传统的教育方式面临着比之前更多更严峻的挑战，因此，新的教学方法在教学过程中的运用就成为这个时代的新要求。

在数学的教学中，很多教师注重对例题的讲授，教师将例题的过程完整的呈现给学生，将答案和思路一并灌输给学生，学生虽然获得了例题的正确答案，很多时候并不理解解题的思路和过程，在面对相同类型的试题时，往往依然摸不着头脑，长时间处在这样的教学环境中，只会使学生越来越厌恶数学的学习。因此，在数学的教学中要勇于革新，积极运用新方法，本文我们就以此为出发点，寻求数学教学中的反例法。

2 反例教学在高等数学教学中的重要性

（1）反例教学的运用可以使学生更加准确地理解数学基本概念。在数学中，概念纷繁复杂，有很多概念还是十分抽象的。教师在讲授这些概念时就面临一个问题，如何能够使这些抽象的概念变得生动、具体、易于理解？笔者认为，反例教学就可以在数学概念讲授时，得到很好的运用，从而使学生对这些抽象概念的理解不断加深。在实际的概念教学中，教师最常采用的教学方法是正面教学的方法，直接对这些生僻的抽象概念进行讲授，不但学生听得云里雾里，教师也常常会感到力不从心。相反，如果能够将反例教学引入概念的讲解中，通过一些并不符合概念要求的错误答案的设计，引学生走向错误的答案，再帮助他们树立正确的观念，通过这种正反的强烈对比，往往能使学生形成对概念的深刻认识。如果教师能够在数学的教学中有针对性、有目的性地运用反例教学的方法，通过正反两个方面的强烈对比，激发学生对这一概念的深刻记忆，从而加深对学生对复杂概念的理解和认识。

（2）反例教学的运用可以使学生对复杂知识的理解更加深刻清晰。在数学中，有很多的问题是比较复杂的，需要经过很多不同步骤的论证才能得出正确答案。根据数学这样的特点，如果在数学教学中一味地采用正面论证的方式，在面对很多相对复杂的问题时，不能产生很好的教学效果，这个时候，就需要教师大胆采用反例教学的方法。反例教学的方法是教师为了加深学生的记忆，将比较难以理解的问题简单化，针对这些学生较容易出现学习困难或理解错误的知识点上有意设计答案，用表面上看起来似乎是正确的，但其实是完全错误的答案来设置“陷阱”，学生犯错之后，教师再根据学生所犯的错误给出正确的解答，引导学生得出的正确的答案，教师通过这样一种正误之间形成的强烈的比较和反差，给学生留下深刻的印象，从而避免了学生再次犯错，使学生对所学知识的理解更加深刻、清晰。

（3）反例教学的运用可以使学生的思维更加严密科学。很多大教育家都曾经说过，数学是一门可以使人的思维变得周密严谨的科学。纵观很多数学的知识，都是可以对学生形成严密思维起到很好的帮助和训练作用的，也就是说，通过学习这些数学知识，学生不但可以拓宽自己的知识面，学到应该掌握的知识，同时也可以使自己抽象思维得到很好的锻炼，起到了一举多得的效果。教师在教学中构建恰到好处的反例，可以为学生提供一个这样的机会，不但能够解决学生在知识理解上存在的问题，更能使学生的思维得到很好的锻炼。

（4）反例教学的运用可以使学生养成勇于探索的品质。我们仔细翻阅数学教材中不难发现，绝大多数的数学课本中都对每一个问题给出了相对应的例题，每一个例题都给出了详细的解题过程，如果教师不能在教学中加强对学生探索能力的培养，而仅仅按照课本上的例题来进行讲授，对于学生思维的培养是十分不利的。这种相对机械化的学习方式不利于形成学生良好的质疑精神和探索精神。而如果教师能够在教学过程中适当增加一些反例的运用，通过制造陷阱，使学生能够透过简单的现象看到事物的本质，运用多种方法多种手段寻求到正确的答案，从而在不知不觉当中训练了学生敢于质疑，勇于探索的精神。通过设置反例，还可以增加很多教学的乐趣，在很大程度上调动学生的积极性，通过这样一个探索的过程，激发学生学习数学的兴趣。

（5）反例教学的运用可以充分激发学生学习数学的信心。我们知道，数学的学习往往是枯燥无味的，因此有很多学生在面对数学，尤其是比较复杂的数学难题时，往往采取逃避的消极态度，大大降低了学习数学的热情，从而严重影响了学习数学的成绩。造成这一结果的原因不单单在学生身上，教师也要承担很大的责任。教师作为教学活动的主导者，其自身的素质，采用的方法，课堂的互动，往往都会对教学效果，甚至学生的积极性产生重要影响。因此，在面临一些较为复杂的数学问题时，如果教师能够采用反例教学的方法，往往能够产生事半功倍的效果。在最大程度上激发学生学习数学的热情。

教师在教学中通过反例的大胆运用，常常能够在最大程度上激发学生心中的共鸣，如果这时教师还能够加上自己生动的讲解，与学生积极的产生互动，就能够在最大程度上激励学生不断向更深层次探索的决心和勇气，并将这种欲望很好地与所要教授的知识结合起来，从而使学生对数学学习产生浓厚的兴趣，坚定自己学好数学的决心。同时，在很大程度上还能够培养学生不畏艰险、勇往直前的良好品质。

3 在高等数学教学中实施反例教学的注意事项

（1）要在教学中引入恰当的反例。数学教师在选择反例进行教学的过程中，不但反例的选择要与教学的内容紧密结合，还要充分考虑学生的生理、心理特征、年龄、接受水平以及他们目前掌握知识的结构特点，要充分考虑到所选择反例的可行性和合理性。同时，还要特别注意的是，教学反例的引入、讲解不能一蹴而就，必须要根据学生的认知水平和所掌握的知识以及能力水平逐渐深入地进行，要由浅入深，由易到难，将一个复杂的问题分解为若干个小的问题，逐级逐步地对学生进行引导和教学。

（2）反例的设置要具有针对性。反例教学要想达到预期的目标和效果，必须要具有针对性。反例的准确设置，需要教师具有准确判断的能力。教师要对教学的诸多因素进行科学的分析和判断，在全方位的权衡之后，要对那些学生必须掌握的、但是在实际操作中又容易忽视掉的知识点进行有针对性的设置。可以说，反例设置的质量如何将直接影响学生对相关知识点的掌握和运用。

（3）学生针对反例进行讨论、探究。这一步是教师全面了解学生的关键，也是课堂教学中以生为本这一教育理念的重要体现，同时也是教师恰当对学生进行点拨、启发的前提和依据。通过学生的讨论和探究，解决问题答案的原因，从而加深对这类知识点的理解。教师根据学生发言情况适当进行点拨、启发，并尽可能由学生自己得出正确结论。

（4）师生共同探究反例的正确答案。教师设置反例，在教学中运用反例的目的，最重要的不是让学生犯错，而是要帮助学生形成正确的认识和理解。因此，教师在学生落入陷阱，得出错误答案之时，要及时帮助学生认识到自己的错误点，引导学生具体分析出现错误的原因，并且对学生所产生的错误进行归纳总结，帮助学生清楚地认识到整个知识的演进过程。这对于理清学生的思路，引导学生形成深刻的正确认识，培养学生严密的思维方式，都有十分重要的作用。

（5）教师还要积极引导学生构建反例。教师在进行数学教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例。教师在日常教学中，可经常选择一些典型的数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例。从实质上来说，这其实是为学生创设了一种积极探索，不断创新的良好环境，因此，我们可以说，构建反例的过程其实也是培养学生思维方式的过程。

4 结语

总之，教师在数学教学中如果能够运用反例教学的方法来建构适当的反例帮助学生理解的话，往往能够产生意想不到的效果。学生在这一反向思维的过程中，不但能够准确掌握所要学习的数学知识，又能锻炼自己的逻辑思维能力。充分调动学生的积极性，激发学生学习数学的兴趣和热情，让数学的学习过程不再枯燥和痛苦，让掌握数学的知识成为一种乐趣。

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